Главная / История бесконечно малых и рождение математики

История бесконечно малых и рождение математики

Опубликовано Мир науки и техники в 11 Апрель, 2014 - 15:07.

История бесконечно малых и рождение математики

В 6 веке до н.э. древнегреческий философ и математик Гиппас Метапонтийский, который принадлежал к кружку пифагорейцев, вместе с другими его членами отправился в морское путешествие. История не помнит, куда и с какой целью плыл Гиппас. Известно лишь, что товарищи в пути выбросили философа за борт.

Гиппас, наверное, разгневал своих товарищей тем, что поставил под вопрос учения их учителя - Пифагора. Пифагор учил, что все в мире можно объяснить с помощью чисел и их отношений. При этом большой философ знал лишь целые числа. Гиппас же довел, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. Современным языком, который понимает каждый выпускник технического вуза можно сказать так: корень из двух, умноженный на значение стороны квадрата (формула определения длины его диагонали) является иррациональным числом, которое невозможно представить как отношение целых чисел.

Открытие Гиппаса загнало в глухой угол не только философов-пифагорейцев, но и на два тысячелетия оставило без ответа всех западных математиков, сообщают новости науки и техники. Ведь философ довел, что линию, площадь или объем невозможно представить как совокупность определенного - пусть даже очень большого - количества конечных отрезков или единиц. Дискретные числа никогда полностью не могут адекватно отображать мир непрерывных сущностей.

По-новому взглянуло на эту дилемму лишь поколение математиков 16-17 века, в частности Симон Стевин, Томас Гериот, Джон Валлис, Бонавентура Кавальере, которые предположили, что линия - это последовательность бесконечно малых точек, плоскость - совокупность бесконечно тонких линий, а объем - бесконечное накопление плоскостей.

Результаты такого, казалось бы, логически противоречивого утверждения оказались впечатляющими. С его помощью математики научились вычислять длины, площади и объемы, которые высчитать было бы чрезвычайно сложно, а то и вообще невозможно, если оперировать только целыми числами. Окончательно в математический метод, который называется дифференциальным и интегральным исчислением, его оформили Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц. Вот уже триста лет на нем основывается вся прикладная математика, применяя для всех возможных вычислений - от вращения небесных тел до траектории полета пушечного ядра, вибрации струны и многого другого, что изучают и исследуют технические вузы в Москве.

Пионеры метода вычисления бесконечно малых понимали, что их подход основывается на логически противоречивых предположениях: как можно получить какую-то дискретную величину, суммируя бесконечно малое? Математиков его философские основы мало волновали: важными были, прежде всего, его практические результаты. Однако философам, особенно Джорджу Беркли и иезуитским схоластам, он по-настоящему не давал покоя. Противники дифференциального и интегрального исчисления использовали весь логический и философский инструментарий, чтобы доказать его абсурдность и логическую невозможность. Отчаянные дебаты длились еще около 100 лет после появления математического анализа, который успешно изучается в современных вузах.

Решить этот спор сумел французский математик Огюстен-Луи Коши (1789-1857). Коши понял, что его причиной является ошибочное предположение, что математика должна отвечать материальной действительности. Однако еще Гиппас показал, что это не обязательно! В работе Cours d'Analyse, которая вышла в 1821 г., Коши строго определил фундаментальные понятия математического анализа - непрерывность, производную и интеграл - как границы бесконечных последовательностей, которые приближаются к определенному постоянному значению. Таким образом, он обосновал математический анализ без использования интуитивных наглядных примеров, что линия состоит из бесконечного количества точек, кривая - прямых отрезков, а объем - плоскостей.

Коши, затем, поставил точку в дилемме, которая длилась больше двух тысячелетий. В 5 веке до н.э. Гиппас Метапонтийский довел, что математика не всегда адекватно отображает реальность. В 19 веке Коши доказал, что она вообще не нуждается в связи с реальностью и может жить и процветать сама по себе.

Теги: , , ,

Читайте нас тут


Наш RSS В Контакте [info]

Фото обзоры

Рейтинг@Mail.ru